A C*-algebra A is an algebra over C with involution a 7! a  (*-
algebra), equipped with a norm a 7! kak, such that A is a Banach space, and the norm
satis
es kabk 5 kakkbk and ka*ak = kak2 (C*-property).

1 Preliminaries on C*-Algebras 5
1.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Definitions C*-algebra, *-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Sub-C* and sub-*-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Ideals and quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 The main examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Short exact sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.6 Adjoining a unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Spectral theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Continuous functional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Matrix algebras and tensor products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Examples and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Projections and Unitaries 17
2.1 Homotopy for unitaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Equivalence of projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Semigroups of projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Examples and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 The K0-Group for Unital C*-Algebras 27
3.1 The Grothendieck Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Definition of the K0-group of a unital C*-algebra . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Portrait of K0: the unital case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.2 The universal property of K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.3 Functoriality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.4 Homotopy invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Examples and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 K0-Group  the General Case 37
4.1 Definition of the K0-Functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.1 Functoriality of K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.2 Homotopy invariance of K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Further Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.1 Portrait of K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.2 (Half)exactness of K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Inductive Limits. Continuity and Stability of K0 . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.1 Increasing limits of C*-algebras . . .
4.3.2 Direct limits of *-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.3 C*-algebraic inductive limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.4 Continuity of K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.5 Stability of K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Examples and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 K1-Functor and the Index Map 51
5.1 The K1 Functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.1 De
nition of the K1-group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.1.2 Properties of the K1-functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 The Index Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2.1 Fredholm index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2.2 Definition of the index map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2.3 The exact sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Examples and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 Bott Periodicity and the Exact Sequence of K-Theory 67
6.1 Higher K-Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.1 The suspension functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.2 Isomorphism of K1(A) and K0(SA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.1.3 The long exact sequence of K-theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2 Bott Periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2.1 
Definition of the Bott map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2.2 The periodicity theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.3 The 6-Term Exact Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.1 The 6-term exact sequence of K-theory . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.2 The exponential map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.3.3 An explicit form of the exponential map . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 Examples and Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7 Tools for the computation of K-groups 83
7.1 Crossed products, the Thom-Connes isomorphism and the Pimsner-Voiculescu
sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.1.1 Crossed products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.1.2 Crossed products by R and by Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.1.3 Irrational rotation algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2 The Mayer-Vietoris sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.3 The Kunneth formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89